A Geometria é a mais antiga manifestação da actividade matemática conhecida. Já cerca de 3000 a. C. os antigos Egípcios possuíam os conhecimentos de Geometria necessários para reconstituir as marcações de terrenos destruídos pelas cheias do rio Nilo, bem como para construir as célebres pirâmides.
Alguns séculos mais tarde, por volta do ano 500 a.C., houve na Grécia um grande desenvolvimento do interesse pela ciência e vários sábios se dedicaram ao estudo da Geometria. Um dos mais importantes foi Tales de Mileto, que usou propriedades de figuras geométricas para a determinação de distância sobre a superfície terrestre.
Quase ao mesmo tempo viveu Euclides de Alexandria, o mais célebre dos geómetras de todos os tempos. Euclides sintetizou toda a geometria conhecida na sua época no seu tratado “Elementos”, composto por 13 livros, que ainda há poucos anos era o principal instrumento de trabalho dos estudantes de Geometria. Este define termos como: pontos, linhas, planos, etc, mas não define outros tais como: comprimento, distância ou declive que hoje tanto se usa actualmente nas aulas.
A influência desta obra foi tão grande que durante quase 1500 anos poucos progressos se fizeram na geometria, a não ser a aplicação dos conhecimentos existentes ao traçado de mapas e Astronomia.
Só cerca do ano de 1600 o matemático francês René Descartes introduziu uma verdadeira inovação na Geometria: descobriu que havia uma relação estreita entre as figuras geométricas e certos cálculos numéricos – Geometria Cartesiana – que é algébrica, embora se conheça por Geometria Analítica. Assim, foi possível resolver facilmente, através do cálculo, problemas que eram muito difíceis à luz da geometria. É o método inventado por Descartes que permite, por exemplo, que um computador represente imagens e lhes dê movimento.
Desargues com a sua Geometria Projectiva (perspectiva) e Monge com Geometria Descritiva apresentam, pela primeira vez em muitos séculos, as primeiras verdadeiras “alternativas” à Geometria Euclidiana sem que isto signifique, contudo, que os princípios desta tenham sido questionados com as alternativas criadas.
O matemático português José Anastácio da Cunha viveu na época do Marquês de Pombal e notabilizou-se por ter escrito um tratado de Geometria no qual, a exemplo de Euclides, sintetizou os conhecimentos da época sobre essa ciência.
No fim do século passado, o caminho iniciado por Euclides teve mais um ponto de viragem. O matemático alemão David Hilbert escreveu um livro – “Fundamentos de Geometria” – em que colocou sobre bases rigorosas e modernas a Geometria. A partir do seu trabalho houve grandes progressos na Geometria e, hoje em dia, usam-se métodos muito variados para resolver problemas também muito variados e interessantes.
Ângulos e figuras
Tanto entre os sumérios como entre os egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90º). Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos.
O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O processo anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto já está determinado de antemão. Os antigos geômetras, o solucionavam por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo-retângulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O teorema de Pitágoras explica porque: em todo triângulo-retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). E 32+42=52, isto é, 9+16=25.
Qualquer trio de números inteiros ou não que respeitem tal relação definem triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram padronizados na forma de esquadros.
Novas figuras
Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades eram fundadas na Grécia. Tales e seu discípulo Pitágoras coligiram todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática, navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.
Uma dessas figuras foi chamada polígono, do grego polygon, que significa "muitos ângulos". Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio de avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros aparelhos. O que não é de estranhar"desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um observador e o cálculo da altura de uma construção.
No primeiro caso, para calcular, por exemplo, a distância de um barco até a costa, recorria-se a um curioso artifício. Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. Isto feito, a nave e os dois observadores ficavam exatamente nos vértices de um triângulo isósceles, porque os dois ângulos agudos mediam 45º cada um, e portanto os catetos eram iguais. Bastava medir a distância entre os dois observadores para conhecer a distância do barco até a costa.
O cálculo da altura de uma construção, de um monumento ou de uma árvore é também muito simples: crava-se verticalmente uma estaca na terra e espera-se o instante em que a extensão de sua sombra seja igual à sua altura. O triângulo formado pela estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de ambos é isósceles. Basta medir a sombra para conhecer a altura.
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