Baricentro de um triangulo

O baricentro de um triangulo é o ponto de interseção das três medianas do triangulo.

Para podermos encontar as coordenadas do ponto G (baricentro) utilizaremos:

Exemplo: Seja um triangulo cujo seus vertices são A (2,4), B (-1,5) e C (5,0). Determine as coordenadas do baricentro do triangulo.

Xg = 2 + (-1) + 5 / 3 => Xg = 2

Yg = 4 + 5 + 0 / 3 => Yg = 3

G = (2,3)

Função quadratica

Chamamos de função quadratica, a famosa função do segundo grau. Ela é uma função polinomial da forma:

f(x) = ax² + bx + c

Quando igualada a função a zero, o resultado é uma equação quadrática. 

ax² + bx + c = 0

As soluções para a equação são chamadas raízes da equação ou os zeros da função, e são os interceptos do gráfico da função (a parábola) com o eixo x.

Quanto as raizes:

O número das raizes depende do (delta), observe:

• Se , teremos duas raizes distintas.
• Se  , teremos apenas uma raiz (diz-se que a equação tem duas raízes iguais)
• Se  , não teremos raiz 

Agora que você já sabe o delta podemos prosseguir para encontrar nossas raizes. Temos então ax²+bx+c= 0 onde , o proximo passo é saber como usar a fórmula de Bhaskara:

 

Quanto as raizes existe outro meio de acha-las além da formula de bhaskara, por Soma e Produto (x² – Sx + P = 0). Observe:

Soma: - b/a      Produto: c/a

exemplo: x² + 9x + 14 = 0 (resolvendo por soma e produto)

S: -b/a = -9/1 = -9                 P: c/a = 14/1 = 14
Com base nesses valores, devemos determinar quais os dois números em que a soma seja -9 e o produto 14. Observe:

7 e 2
S = 7 + 2 = 9
P = 7 * 2 = 14

–7 e 2
S = –7 + 2 = – 5
P = –7 * 2 = – 14

7 e –2
S = 7 + (–2) = 5
P = 7 * (–2) = –14

–7 e –2
S = –7 + (–2) = –9
P = –7 * (–2) = 14


Veja que o par de números em que a soma resulta em –9 e o produto em 14 é (–2, –7). Portanto as raízes da equação x² + 9x + 14 = 0 possui como resultado o par ordenado, os números –2 e –7.

Quanto ao grafico (Parábola): 

Para podermos construir a nossa parábola devemos saber para onde sua concavidade esta voltada.

• Se a > 0 sua concavidade é voltada pra cima
• Se a < 0 sua concavidade é voltada pra baixo

Vertice: O vértice da parábola corresponde ao ponto mais extremo dela. É definido pelas seguintes coordenadas:

  

Estudo de sinais: Consideramos uma função quadrática  f(x) = ax² + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos. Temos que considerar 3 casos, veja:

1º Caso:   

Nesse caso a função quadrática admite duas raizes reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos.

 

quando a > 0

y > 0 (x < x₁ ou x > x₂)
y < 0 x₁ < x < x₂

 

quando a < 0

y > 0 x₁ < x < x₂
y < 0 (x < x₁ ou x > x₂)

2º Caso:  

                                                                 quando a > 0

 

 

quando a < 0

3º Caso:  

quando a > 0

 

 

 

quando a < 0

 

Funk da Função quadratica

Aprenda a fazer Função quadratica (função do segundo grau) de um modo mais divertido!

Defesas do aluno

Ai galera, essas ai são otimas defesas pra você que viaja legal nas aulas, kkkk! afinal de contas, quem nunca fez uma dessas 9 coisas.. ? quem nunca foi aluno ? rs.

1. Aluno não cola... ele compara resultados.
2. Aluno não fala... ele troca opiniões.
3. Aluno não dorme... ele se concentra.
4. Aluno não se distrai... ele examina moscas.
5. Aluno não falta aula... ele é solicitado em outros lugares.
6. Aluno não diz besteira... ele desabafa.
7. Aluno não masca chiclete... ele fortalece a mandíbula.
8. Aluno não lê revista na sala... ele se informa. 
9. Aluno não destrói a escola... ele apenas decora a seu gosto.

Mais a campeã foi : a número 1! 

Ponto médio de um segmento de reta

Se A (xa,ya) e B (xb,yb) são pontos distintos, então o ponto médio M (xm,ym) do segmento AB é tal que:

Sabemos que o ponto medio é (xm,ym) mais como calcular xm e ym ? é bem simples, basta usar a formula do ponto médio, veja abaixo.

Exemplo: Dados A(5,1) e B(7,-9), determine o ponto médio do segmento AB.

Agora sabemos que o ponto médio do segmento AB é (6,-4).

Distancia entre dois pontos

Dados dois pontos A (xa,ya) e B (xb,yb), vamos determinar a distancia (Da,b) entre eles:

1º Caso: AB é paralelo ao eixo x.

               Da,b = | xb - xa |

 

2º Caso:  AB é paralelo ao eixo y.

                Da,b = | yb - ya |

 

3º Caso:  AB não é paralelo aos eixos x e y.

               

Neste caso teremos que usar uma formula, pelo teorema de pitágoras temos:

 

Exemplo: Calcule a distancia dos pontos A = (7,-6) e B = (2,6)

Plano Cartesiano

Ponto: Representação do par ordenado no plano cartesiano.

Par ordenado (x,y); veja o exemplo:

Dado um Par ordenado A = (2,5) =>  x = 2 e y = 5 (veja no grafico)

 

Localização no plano cartesiano: Podemos determinar a localização de um ponto através de quadrantes, por exemplo: o ponto A (da questão anterior) ele está em qual quadrante? observe os conceitos e veja se chegamos a mesma conclusão.

• Abscissa positiva (+) e ordenada positiva (+) = 1º quadrante
• Abscissa negativa (-) e ordenada positiva (+) = 2º quadrante
• Abscissa negativa (-) e ordenada negativa (-) = 3º quadrante
• Abscissa positiva (+) e ordenada negativa (-) = 4º quadrante

 

E agora ? sabe responder em que quadrante o ponto A está ? 

Se você respondeu 1º quadrante acertou!

Respostas do desafio: nivel dois

1. Em 12 dias ela conseguirá sair do poço. Subindo 4 metros por dia e descendo 3 à noite, no décimo primeiro dia já terá subido 11 metros. Um dia depois, no décimo segundo dia, subindo mais 4 metros chegará à boca do poço (15 m) e não terá porquê continuar descendo.

2. Analisando Hoje :

Adotamos a idade da mãe como sendo = Y anos.
Adotamos a idade do menino como sendo = X anos.
Portanto, como a mãe é 21 anos mais velha, temos: Y = X + 21
Daqui a 6 anos, ou seja: ( Y + 6 ) e ( X + 6 )
Daqui a 6 anos a mãe terá idade 5 vezes maior que a do filho, ou seja: Y + 6 = 5 ( X + 6)
Resolvendo a equação, temos: Y + 6 = 5 X + 30
Y = 5X + 24
Se substituirmos o valor acima de Y na primeira equação (Y = X+ 21), teremos: 5X + 24 = X + 21
5X - 1X = 21 - 24
Logo: 4X = -3
X = - 3/4
 

O menino tem hoje -3/4 anos, ou seja, - 9 meses (menos nove meses).

Resposta: Neste exato momento os pais estão estabelecendo uma bela estratégia para fazer o filho.. sdhsdahsauashua.

3.  Patos não botam ovos. Infelizmente ele não terá nenhum ovo ao final de um ano.

Dicas quentes

   Aqui estão algumas dicas de como se dar bem no vestibular, se você é vestibulando aproveite!

>> Dicas de planejamento dos estudos:

•      Monte uma grade de estude, tente segui-la a risca.
•      Evite estudar materias totalmente diferentes no mesmo dia, ex: português e matemática. (a mudança é muito radical)
•      Administre seu tempo para que de tempo de estudar tanto para a escola quanto para o vestibular.
•      Procure se concentrar ao maximo nas aulas.
•      Não leve NUNCA duvida para casa. 
•      Procure também refazer provas antigas de vestibular, é uma otima maneira de ter uma ideia do que é vestibular.
•      Estar sempre atualizado é muito importante, a internet, os jornais e revistas estão ai pra isso.

•    Uma boa alimentação e uma boa noite de sono, é importante para que sua rotina de estudo se mantenha firme.

>> Dicas para hora da prova:

•      Tente não ficar nervoso (mesmo isso sendo quase impossivel), o nervosismo atrapalha sua concentração.
•       Procure chegar cedo no local da prova, para que não haja problemas e você não perca a prova.
•       É importante você evitar sair de sala, para que não perca tempo, porque geralmente são 4 horas de prova. Por isso leve água, e só saia em casos urgentes.
•       Faça primeiro as materias que você domina, assim você ganha tempo.
•      (No caso do ENEM) Faça a redação primeiro, aproveite que esta de "cuca fresca" e arrebente na escrita.
•       Evite zerar materia, isso pode complicar seu resultado, por isso não chute uma materia inteira, rs.

•    Caso não tenha jeito, a solução é chutar.. mais procure chutar a mesma letra SEMPRE, a probabilade de acerto é bem maior do que sair chutando aleatoriamente. 

Boa Sorte !

Fatoração

Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.

Ex: ax + ay = a.(x+y)

Existem vários casos de fatoração como:

1) Fator Comum em evidência

Quando os termos apresentam fatores comuns

Observe o polinômio:
      ax + ay  » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.

Assim: ax + ay = a.(x+y)
                        Forma fatorada

Exs : Fatore:

a) bx + by - bz = b.(x+y-z)

b)

c)

d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)

2) Fatoração por agrupamento

Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.

Como por exemplo:
                            ax + ay + bx + by
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:

                            a.(x+y) + b.(x+y)

Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:

                            (x+y).(a+b)

Ou seja:  ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)

3) Fatoração por diferença de quadrados:

Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado

Assim:     

Exs: Fatore:

a)

b)

c)
Note que é possível fatorar a expressão duas vezes

4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito:

O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.

Por exemplo, os trinômios () e ( ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.

                

Assim:
         
           |                |
                 
           |                |
          2x               3y
           |__________|
                   |
          2.2x.3y = 12xy » note que é igual ao segundo termo de

Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito.
            = » forma fatorada
                  |_______________|
                            Sinal

Logo:     = » forma fatorada
                  |_______________|
                             Sinal

Exs:

a)

b)

*Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá-la por completo:
Exs:

a)

b)

Outros casos de fatoração:

1)

2)

3)