Função quadratica

Chamamos de função quadratica, a famosa função do segundo grau. Ela é uma função polinomial da forma:

f(x) = ax² + bx + c

Quando igualada a função a zero, o resultado é uma equação quadrática. 

ax² + bx + c = 0

As soluções para a equação são chamadas raízes da equação ou os zeros da função, e são os interceptos do gráfico da função (a parábola) com o eixo x.

Quanto as raizes:

O número das raizes depende do (delta), observe:

• Se , teremos duas raizes distintas.
• Se  , teremos apenas uma raiz (diz-se que a equação tem duas raízes iguais)
• Se  , não teremos raiz 

Agora que você já sabe o delta podemos prosseguir para encontrar nossas raizes. Temos então ax²+bx+c= 0 onde , o proximo passo é saber como usar a fórmula de Bhaskara:

 

Quanto as raizes existe outro meio de acha-las além da formula de bhaskara, por Soma e Produto (x² – Sx + P = 0). Observe:

Soma: - b/a      Produto: c/a

exemplo: x² + 9x + 14 = 0 (resolvendo por soma e produto)

S: -b/a = -9/1 = -9                 P: c/a = 14/1 = 14
Com base nesses valores, devemos determinar quais os dois números em que a soma seja -9 e o produto 14. Observe:

7 e 2
S = 7 + 2 = 9
P = 7 * 2 = 14

–7 e 2
S = –7 + 2 = – 5
P = –7 * 2 = – 14

7 e –2
S = 7 + (–2) = 5
P = 7 * (–2) = –14

–7 e –2
S = –7 + (–2) = –9
P = –7 * (–2) = 14


Veja que o par de números em que a soma resulta em –9 e o produto em 14 é (–2, –7). Portanto as raízes da equação x² + 9x + 14 = 0 possui como resultado o par ordenado, os números –2 e –7.

Quanto ao grafico (Parábola): 

Para podermos construir a nossa parábola devemos saber para onde sua concavidade esta voltada.

• Se a > 0 sua concavidade é voltada pra cima
• Se a < 0 sua concavidade é voltada pra baixo

Vertice: O vértice da parábola corresponde ao ponto mais extremo dela. É definido pelas seguintes coordenadas:

  

Estudo de sinais: Consideramos uma função quadrática  f(x) = ax² + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos. Temos que considerar 3 casos, veja:

1º Caso:   

Nesse caso a função quadrática admite duas raizes reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos.

 

quando a > 0

y > 0 (x < x₁ ou x > x₂)
y < 0 x₁ < x < x₂

 

quando a < 0

y > 0 x₁ < x < x₂
y < 0 (x < x₁ ou x > x₂)

2º Caso:  

                                                                 quando a > 0

 

 

quando a < 0

3º Caso:  

quando a > 0

 

 

 

quando a < 0