Tudo matemática: fevereiro 2011

domingo, 27 de fevereiro de 2011

Desafios matemáticos: nivel dois

1. Uma lesma está no fundo de um poço que tem 15 metros de profundidade, e quer sair dele. Como lesma é lesma, ela

sobre 4 metros durante o dia, mas desce três durante a noite.

Pergunta: em quantos dias ela conseguirá sair do poço?

2. Uma mãe é 21 anos mais velha que o filho. Daqui há 6 anos a mãe terá uma idade 5 vezes maior que o filho.
Pergunta: Onde está o pai agora?

3. A média mensal de ovos postos pelas aves na Suécia são na proporção de 35 ovos por mês. O Sr. Thomas Dhalin, um pequeno proprietário do interior do país decidiu incrementar sua fazenda comprando um pato. Quantos ovos, de acordo com as estatísticas, ele terá comercializado ao final de um ano?

quarta-feira, 23 de fevereiro de 2011

(continuação) Ângulos

Ângulos opostos pelo vertice: esses angulos são SEMPRE congruentes.

O valor de A = B
e o mesmo acontece com X e Y, onde seus valores são iguais. (X = Y)

Ângulos complementares: A soma dos angulos tem que ser igual a 90º.

Ângulos suplementares: A soma dos angulos tem que ser igual a 180º.

Ângulos em retas paralelas:

Propriedades: 1º) os angulos correspondentes e os angulos alternos são congruentes.
2º) os angulos colaterais são suplementares.

Ângulos correspondentes: a = e, b = f, c = g, d = h.

Ângulos alternos externos: b = h, a = g.

Ângulos alternos internos: c = e, d = f.

Ângulos colaterais internos: c + f = d + e = 180º

Ângulos colaterais externos: b + g = a + h = 180º

ATENÇÃO: A soma dos angulos internos de um triangulo é igual a 180º.

Ângulos

Ângulos consecutivos: Possuem o mesmo vertice e um lado comum.

AÔB e AÔC são consecutivos.

Ângulos adjacentes: são consecutivos e não possuem interior comum.

AÔB e BÔC são adjacentes.

Ângulo agudo: seu valor é menor que 90º.

AÔB = 30º

Ângulo obtuso: seu valor é maior que 90º

135º > 90º

Sistema de unidades angulares

A grande duvida da galera é.. "como passar o que está em grau pra minutos? ou de minutos pra segundo?" e virce e versa. Confundir eles é bem simples, mais o que é mais simples é um "esqueminha" pra desconfundir! observe abaixo.

Obs: x 60 = multiplicar por 60

/ 60 = dividir por 60

Por exemplo: Temos 0,5º, quantos minutos equivalem 0,5º ?

R: 0,5 x 60 = 30 ' (0,5 graus = 30 minutos)

Poliedros

Poliedro é a reunião de um numero finito de poligonos planos, chamados faces tais que:

Cada lado desse poligono é tambem lado de um, e apenas um, outro poligono.
A interseção de dois poligonos quaisquer ou é um lado comum, ou é um vertice comum, ou é vazia.

Dica: Todos os prismas e piramides são poliedros.

ATENÇÃO: Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.

Poliedros Regulares:

É um poliedro convexo em que as faces são poligonos regulares congruentes e que em todos os vertices concorrem com o mesmo numero de arestas.

"Teorema: Existem apenas cinco poliedros regulares."

São eles:

Cubo, tambem chamado de Hexaedro (6 faces)
Tetraedro (4 faces)
Octaedro (8 faces)
Icosaedro (20 faces)
Dodecaedro (12 faces)

terça-feira, 22 de fevereiro de 2011

Tabuada de 8 e 9

A pedido de uma aluna da terceira serie (4º ano) aqui estão as tabuadas de 8 e 9.

8 x 1 = 8

8 x 2 = 16

8 x 3 = 24

8 x 4 = 32

8 x 5 = 40

8 x 6 = 48

8 x 7 = 56

8 x 8 = 64

8 x 9 = 72

8 x 10 = 80

Dica: A tabuada de 9, caso você esqueça, há um "truque" para que você possa arma-la sem errar a tabuada.

9 x 1 = 09

9 x 2 =18

9 x 3 = 27

9 x 4 = 36

9 x 5 = 45

9 x 6 = 54

9 x 7 = 63

9 x 8 = 72

9 x 9 = 81

9 x 10 = 90

Obs: A primeira coluna vai de zero a nove (0 a 9) em ordem crescente.

9 x 1 = 09

9 x 2 = 18

9 x 3 = 27

9 x 4 = 36

9 x 5 = 45

9 x 6 = 54

9 x 7 = 63

9 x 8 = 72

9 x 9 = 81

9 x 10 = 90

Obs: A segunda coluna vai de nove a zero (9 a 0) ou seja, em ordem decrescente.

Sendo assim, fica facil armar a tabuada de nove, a as chances de erros são minimas!

domingo, 20 de fevereiro de 2011

Equações de primeiro grau

São equações em que a letra "x" não aparece elevada a nenhum expoente. Um fato importante relativo às equações de 1º grau é que: "Toda equação de 1º grau possui uma solução".

Exemplo: Encontre o valor pra x onde a equação é, 2x + 3 (x - 2) = 7x - 34

R: Resolvemos 1º a multiplicação 3 (x-2) aplicando a distributiva, ou seja, 3 (x-2) = 3x - 6

Subtituimos os valores na esquação, 2x + 3x - 6 = 7x - 34. Agora basta organizar letras e numeros(tudo com x de um lado, tudo sem x do outro) 2x + 3x - 7x = - 34 + 6

- 2x = - 28

Obs: a letra (o "x") NUNCA deve ficar negativa, então a solução é multiplicar toda equação por - 1, para que assim o x troque de sinal, ficando assim positivo.

- 2x = - 28 * (-1)

2x = 28

x = 28/2

x = 14

Classificação de triangulos

→ Quanto aos lados:

* Equilátero: seus três lados são congruentes.

* Isósceles: tem dois lados congruentes.

* Escaleno: nenhum lado congruente.

→ Quanto aos angulos:

* Retangulo: que possui angulo reto (angulo de 90º)

* Obtusangulo: que tem um angulo obtuso (angulo maior de 90º e menor que 180º)

* Acutangulo: tem três angulos agudos (angulo menor 90º e maior que 0º)

Teorema de Pitágoras

"O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos."

c² = a² + b²

c = hipotenusa

a e b = catetos

Aplicação (exemplos):

a) Sabendo que um triangulo retangulo tem seus catetos nos respectivos valores (3 cm e 4 cm), calcule sua hipotenusa.

R: Substituindo no teorema a e b = (3 e 4)cm , c = x

c² = a² + b² → x² = 3² + 4² → x² = 9 + 16 → x² = 25

x = 5

Obs: Mais vão haver casos em que o seu "x" não vai ser a hipotenusa, vai ser um dos catetos, nesta hora você deve prestar bastante atenção na substituição dos valores.

exemplo:

c² = a² + b²

7,5² = 4,5² + b²

56,25 = 20,25 + b²

56,25 - 20,25 = b²

36 = b²

b = 6

sábado, 19 de fevereiro de 2011

Quem disse que matemática não é poesia? (poemas 2)

Ser matemática é...

Ser MATEMÁTICA é...
Resolver seus PROBLEMAS
Acabar com todos os COMPLEXOS
Saber a sua FUNÇÃO
E ser DETERMINANTE
Superar seu LIMITE
Seja qual for a VARIÁVEL
Ou a sua DERIVADA
Mas ter sempre a RAZÃO
Não ser um TERMO INDEPENDENTE
Estar sempre em CONJUNTO
Em busca de uma SOLUÇÃO.
(Carla Patricia de Oliveira)

Amor a 360º

Um dia amei alguém
alguém que nunca soube me amar
mas, eu amei esse alguém que aos cículos e raios se entregou
seguiu uma reta infinita e sumiu
eu fiquei ali na parelela
não sabia o que fazer
em um ponto me encontrei
deste ponto a que me reapaixonei
de um ponto a outro ponto
em uma semi-reta caminhei
em um giro de 360º
um círculo formei
ao qual eternamente viverei.

(Olga Karina)

Numeros complexos: potencia de i

i^0 = 1

i^1 = i

i^2 = -1

i^3 = - i

i^4 = 1

i^5 = i

i^6 = -1

i^7 = - i

i^8 = 1

i^9 = i

i^10 = -1 [...]

A potencia de i vai ser SEMPRE a mesma sequencia.
Dica: se for o caso de gravar a sequencia deste modo fica mais simples; 1 idiota, -1 - idiota.

Obs: o sinal de circunflexo na linguagem matemática significa "elevado"

exemplo: i^2 é o mesmo que dizer i².

No caso de que o numero elevado ser muito alto, você tem uma saída mais facil do que ficar fazendo esta sequencia.
exemplo: E quanto vale i^571?
R: Basta você dividir por 4 (sempre será divido por 4) o numero que esta elevado, neste caso o 571, então temos: 571/4 = 143 e tem resto 3. O que nos interessa nesta operação é o resto. Se o resto foi 3 isso significa dizer que i^571 = i^3 (com um numero menor fica mais facil de achar a sequencia), logo sabemos que i^571 = i^3 = -1

domingo, 13 de fevereiro de 2011

Números complexos

Um número complexo é um número

z

que pode ser escrito na forma

z = x + iy

, em que

x

y

são números reais e

i

denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade

i 2 = - 1

. Os números

x

y

são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de

z

O conjunto dos números complexos, denotado por $\mathbb{C}$ , contém o conjunto dos números reais. Munido de operações de adição e multiplicação obtidas por extensão das operações de adição e multiplicação nos reais, adquire uma estrutura algébrica denominada corpo. Esse corpo é algebricamente fechado, isto é, contém todas as soluções de quaisquer equações polinomiais com coeficientes complexos. O conjunto dos números complexos também pode ser visto como um espaço vetorial, tanto sobre $\mathbb{C}$ como sobre $\mathbb{R}$ .

Além disso, a cada número complexo podemos atribuir um número real positivo chamado módulo, dado por

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

O módulo de z, visto como uma norma no espaço vetorial, conduz a um espaço normado topologicamente completo.

Os números complexos são representados geometricamente no plano complexo. Nele, representa-se a parte real,

x

, no eixo horizontal e a parte imaginária,

y

, no eixo vertical.

Números reais

O conjunto dos números reais $\mathbb{R}\,$ é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.

Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fracção decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.

Denomina-se corpo dos números reais a colecção dos elementos pertencentes à conclusão dos racionais, formado pelo corpo de fracções associado aos inteiros (números racionais) e a norma associada ao infinito.

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\cdots$

Obs: $\mathbb{C}$ é a representação do conjunto de números complexos, que veremos na proxima postagem.

sexta-feira, 11 de fevereiro de 2011

Número racional

Número racional é todo o número que pode ser representado por uma razão (ou fração) entre dois números inteiros.

O conjunto dos números racionais (representado por $\,\!\mathbb{Q}$ , o uso da letra $\,\!\mathbb{Q}$ é derivada da palavra inglesa quotient, cujo significado é quociente, já que a forma de escrever um número racional é o quociente de dois números inteiros, com o denominador diferente de 0) é definido por:

$\mathbb{Q}=\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}\end{matrix}\,|\,a\in\mathbb{Z}\,;\,b\in\mathbb{Z^{*}}\right\}$ Lê-se Q igual a "a" sobre (ou dividido) "b", tal que "a" pertence ao conjunto dos numeros inteiros e "b" pertence ao conjunto dos numeros inteiros. Onde $\mathbb{Z}$ é o conjunto dos números inteiros e $\mathbb{Z^{*}}$ o conjunto dos números inteiros excluindo o 0.

Exemplos de números racionais: $\,\!\begin{matrix}\frac{5}{8}\end{matrix}$ ; $\,\!7{,}5$ ; $\,\!-9$ ; $\,\!3\begin{matrix}\frac{5}{8}\end{matrix}$ ; $\,\!\sqrt[2]{4}$ ; $\,\!-\begin{matrix}\frac{6}{7}\end{matrix}$ .

Os números racionais opõem-se aos números irracionais ( $\,\!\mathbb{I}$ ).

Para representar o conjunto dos racionais positivos podemos usar Q ₊ e para representar o conjunto dos números racionais negativos podemos utilizar Q_-. O número zero também faz parte do conjunto dos racionais.

Há quatro formas de se apresentarem os números racionais: Frações (próprias ou impróprias), números mistos (que é uma variação das frações impróprias), números decimais de escrita finita e, por fim, as dízimas, que são números decimais em cuja escrita aparecem períodos numéricos infinitos. Eis alguns exemplos:

Fração: $\,\!\begin{matrix}\frac{7}{5}\end{matrix}$ ;
Número misto: 5 $\,\!\begin{matrix}\frac{3}{2}\end{matrix}$ ;
Números decimais de escrita finita: 8,35;
Dízimas: 8,(23); 1,23(5); 7,23(965);

nesta notação os números entre parênteses repetem-se ao infinito.